一個永存的聯絡

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純數學是邏輯概唸的詩篇。人們尋求操作的普遍概念,它能以一個簡單的、邏輯的、統一的形式把儘可能多的形式關係彙集到一起。在尋求邏輯美的這個努力中,人們發現了更深刻理解自然定律所需的精神處方。

——愛因斯坦紀念艾米·諾特

假設我隨意挑選兩個數字。我不會告訴你它們是什麼數字,而把它們稱為 A 和 B。如果我問你它們的和(A + B)是多少,可是你不知道 A 和 B 是什麼數字,因此無法告訴我答案。但是你可以告訴我一件很重要的事情:答案會是個數字。這或許顯而易見,但事實上它告訴我們一件關於數字的重要事情。任何兩個數字相加都會得到一個數字。這是因為數字在加法運算下會形成所謂的“”。

△ 向量相加會得到另一個向量。(圖片來源:One Universe at a Time)

在物理科學中,有許多東西都是群,並且有實際的物理含義。例如,向量在加法運算下就是群,把幾個向量相加,得到的答案也將是向量。由於力是向量,如果把幾個施加在一個物體上的力全部加起來,就會得到決定物體如何運動的總力或淨力。牛頓的運動定律就依賴於一個簡單的事實:向量是一個群。

基本上,一個群可以是任何東西(數字、向量等等)的集合,並且這些東西可以跟一些數學運算(加法、乘法等等)相聯絡。當然,要成為一個群就必須服從一些特定的規則,但關鍵在於群的成員在它們的運算下是如何聯絡在一起。雖然我們說數字或向量是群好像很好理解,但群的概念實際上更加抽象。舉個旋轉的例子。

△魔方的旋轉也可以產生一個群。(圖片來源:One Universe at a Time)

旋轉可以產生一個群,一個旋轉的組合等同於另外旋轉的組合。一個代表性的例子就是魔方。如果有人把一個魔方隨機轉動打亂,在你不知道他旋轉的步驟下,你也可以用不同的旋轉方法將魔方還原。魔方之所以有解正是因為魔方的旋轉形成一個群。你用來還原魔方的旋轉的組合等同於原來打亂魔方的旋轉的組合。

當你去觀察在一個群內相同的東西類型的時候,事情變得越來越有意思。舉個例子,在地球上,利用經度和緯度就可以確定地表上某點的精確位置。經度是通過測量其從本初子午線向東或向西經過的角度得到的,而緯度的範圍則從赤道的0度到南北極的90度。但假設我們利用一個不同的參考系。我們不用赤道,而是用另一個繞著地球的圓。我們依舊使用原來的緯度和經度,因為比較方便,但我們也可以使用任何其它的座標系統。事實上,由於我們總是可以從一個座標系統轉移到另一個,因此所有可能的座標系統的集合就是一個群。如果我們從原來的座標系轉移到一個新的,那麼我們的“緯度”和“經度”就會改變,但是在地球上任意兩個點的距離都不會改變。在數學上,我們可以說在座標變換下距離是不變的。

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△ 艾米·諾特將守恆定律和對稱性聯絡了起來。(圖片來源:PI)

這些不變數跟群的對稱性有關。在物理上,對稱性就是改變系統的一部分而保持整體一致的能力。舉個例子,想象一下你站在一個完美、且無限延伸的平坦表面上。如果你閉上眼睛,並向前走一步,然後開啟你的眼睛,你會發現沒有任何改變。你的確向前了一步(一個改變),但表面看起來並沒有任何改變(對稱性)。這就是所謂的平移對稱性。換句話說,物理定律不隨空間中的位置而變化,它在這裡、哪裡、任何地方都是一樣的。數學上,這意味著一個物體的線性運動在位置改變的情況下保持不變。在物理上這就叫做動量守恆。

因此,自然界中的對稱性和守恆定律被聯絡起來了!!!而將這兩者聯絡在一起正是艾米·諾特,她可以說是史上最具深刻洞見的數學物理學家。

△ 艾米·諾特(1882 - 1935)。在20世紀初的德國,如果婦女想要接受高等教育會受到巨大阻力。當時有地位的學術界人士認為大學接受婦女就相當於一個“道德上軟弱的可羞展示”。但艾米·諾特經過堅持終於獲得博士學位。不過她無法再獲得任何學術職位,雖然大名鼎鼎的數學家希爾伯特在意識到她的能力之後嘗試為她取得無報酬講課的權利,但失敗了。即使她做出瞭如此重要的貢獻,但在她的一生中,這個世界沒有給她任何東西,除了障礙。(圖片來源:PI)

艾米·諾特利用群論的數學展現了在群中每一個描述一個物理現象的對稱性都跟一個守恆量相聯絡。因此,平移對稱性就意味著線性動量的守恆。角動量守恆則是源於旋轉不變性。能量守恆(跟時間對稱性聯絡)和電荷守恆(跟規範對稱性相關),以及電場和磁場間的聯絡,都是群對稱性的結果。這個關係被稱為諾特定理。諾特告訴我們的是在宇宙中所有守恆量的存在之所以存在是因為在群這個抽象的數學概念中存在著對稱性。某些最優美、最強大的數學跟宇宙如何運作有著深層的物理聯絡。數學不僅僅只是描述圍繞我們的世界。數學中最基本的聯絡描述了物理過程的基本原理。

△ 對於每個局部作用下的可微對稱性,存在一個對應的守恆流。

能量、動量和角動量守恆是在物理學中最先學習到的定律。它們支配物理宇宙中一切物體的運動,從星系的碰撞到原子中電子的旋轉。曾有很多年,我沒有去問這些守恆定律從何而來;它們好像如此基礎,不需要解釋了。後來我聽到諾特的定理,印象非常深刻。這些基礎的守恆定律原來是基於物理在昨天、今天、明天,這裡、哪裡、任何地方,東、西、南、北是完全一樣的假設,就像愛因斯坦所說,這個啟示對我而言完全是屬於精神範疇的。

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在我成為物理學家的這些年中,這一個啟示屬於最難忘懷的。我一直為人類理智理解宇宙的能力所觸動,但遇到像諾特這樣真實的遠見也不是經常的。這樣的遠見使我快樂、敬畏而又感動,因為作為絕對真理,它們即深刻又簡單。但另一方面,作為物理學家,我並不認為原子核和晶體在這樣或那樣條件下的性質本身多麼有趣。在對宇宙的唯象性的感知中,這一代人認為有趣的,下一代人興趣就小了。這一代基礎物理學家已經認為,二十年前粒子物理的奇妙發現是,用愛因斯坦的話說,“這樣或那樣的現象”。但對稱性和守恆定律之間的聯絡卻是永存的。

愛因斯坦認為諾特是數學史上最重要的女性。她的工作徹底改變了我們理解物理理論的方式。如果你下次閱讀到關於宇宙暴脹的發現、尋找超對稱粒子、或者一切跟萬有理論相關的進展,都應該想到艾米·諾特,她的定理是所有這些理論的核心概念。諾特定理不僅改變了我們看待宇宙的方式,同時也告訴了我們,在理解宇宙時,數學的真正威力。

參考來源:

【1】https://briankoberlein.com/2016/10/28/the-power-of-balance/

【2】https://briankoberlein.com/2014/03/24/symmetry/

【3】A.Zee, 《Fearful Symmetry:The Search for Beauty in Modern Physics》


» 原理

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